程序调用自身的编程技巧称为递归( recursion)。递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。下面是一个递归式函数定义：
def recursion():
return recursion()
如果运行它，结果将如何呢？ 发现运行一段时间后，这个程序崩溃了（引发异常）。 从理论上说，这个程序将不断运行下去，但每次调用函数时，都将消耗一些内存。 因此函数调用次数达到一定的程度（且之前的函数调用未返回）后，将耗尽所有的内存空间，导致程序终止并显示错误消息“超过最大递归深度”。
这个函数中的递归称为无穷递归，因为它从理论上说永远不会结束。 想要的是能对有所帮助的递归函数，这样的递归函数通常包含下面两部分。
- 基线条件（针对最小的问题）：满足这种条件时函数将直接返回一个值。
- 递归条件：包含一个或多个调用，这些调用旨在解决问题的一部分。
这里的关键是，通过将问题分解为较小的部分，可避免递归没完没了，因为问题终将被分解成基线条件可以解决的最小问题。
那么如何让函数调用自身呢？这没有看起来那么难懂。前面说过，每次调用函数时，都将为此创建一个新的命名空间。 这意味着函数调用自身时，是两个不同的函数［更准确地说，是不同版本（即命名空间不同）的同一个函数］在交流。 可将此视为两个属于相同物种的动物在彼此交流。
本节探讨两个经典的递归函数。首先，假设要计算数字n的阶乘。
n的阶乘为 n × (n-1) × (n -2) × … × 1 ，在数学领域的用途非常广泛。
例如，计算将 n 个人排成一队有多少种方式。如何计算阶乘呢？可使用循环。
def factorial(n):
result = n
for i in range(1, n):
result *= i
return result
这种实现可行，而且直截了当。大致而言，它是这样做的：首先将result设置为n，
再将其依次乘以1到n-1的每个数字，最后返回result。
但如果愿意，可采取不同的做法。关键在于阶乘的数学定义，可表述如下。
- 1的阶乘为1。
- 对于大于1的数字
n，其阶乘为n-1的阶乘再乘以n。
这个定义与本节开头的定义完全等价。
下面来考虑如何使用函数来实现这个定义。理解这个定义后，实现起来其实非常简单。
def factorial(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n * factorial(n - 1)
这是前述定义的直接实现，只是别忘了函数调用factorial(n)和factorial(n – 1)是不同的实体。
再来看一个示例。假设要计算幂，就像内置函数pow和运算符所做的那样。
要定义一个数字的整数次幂，有多种方式，但先来看一个简单的定义：
power(x, n)（x的n次幂）是将数字x自乘n - 1次的结果，即将n个x相乘的结果。
换而言之，power(2, 3)是2自乘两次的结果， 即2 × 2 × 2 = 8。
这实现起来很容易。
def power(x, n):
result = 1
for i in range(n):
result *= x
return result
这是一个非常简单的小型函数，但也可将定义修改成递归式的。
- 对于任何数字x，power(x, 0)都为1。
- n>0时，power(x, n)为power(x, n-1)与x的乘积。
这种定义提供的结果与更简单的迭代定义完全相同。理解定义是最难的，而实现起来很容易。
def power(x, n):
if n == 0:
return 1
else:
return x * power(x, n - 1)
再次将定义从较为正规的文字描述转换成了编程语言（Python）。
提示：如果函数或算法复杂难懂，在实现前用自己的话进行明确的定义将大有裨益。 以这种“准编程语言”编写的程序通常称为伪代码。
在很多情况下，使用递归的可读性更高，且有时要高得多，在理解了函数的递归式定义时尤其如此。 另外，虽然完全能够避免编写递归函数，但作为程序员，必须能够读懂其他人编写的递归算法和函数。
下面来看看最后一个递归示例：二分查找算法。
如果熟悉猜心游戏，那么这个游戏要求猜对对方心里想的是什么，且整个猜测过程提出的“是 否”问题不能超过20个。为充分利用每个问题，力图让每个问题的答案将可能的范围减半。 例如，如果知道对方心里想的是一个人，可能问：“心里想的是个女人吗？”除非有很强的第六感， 不然不会一开始就问：“心里想的是John Cleese吗？”对喜欢数字的人来说，这个游戏的另一个版本是猜数。 例如，对方心里想着一个1～100的数字，必须猜出是哪个。当然，猜100次肯定猜对，但最少需要猜多少次呢？
实际上只需猜7次。首先问：“这个数字大于50吗？”如果答案是肯定的， 再问：“这个数字大于75吗？”不断将可能的区间减半，直到猜对为止。无需过多地思考就能成功。 这种策略适用于众多其他不同的情形。一个常见的问题是：指定的数字是否包含在已排序的 序列中？如果包含，在什么位置？为解决这个问题，可采取同样的策略：“这个数字是否在序列 中央的右边？” 如果答案是否定的，再问：“它是否在序列的第二个四分之一区间内（左半部分的右边）？”依此类推。 明确数字所处区间的上限和下限，并且每一个问题都将区间分成两半。
这里的关键是，这种算法自然而然地引出了递归式定义和实现。 先来回顾一下定义，确保知道该如何做。
- 如果上限和下限相同，就说明它们都指向数字所在的位置，因此将这个数字返回。
- 否则，找出区间的中间位置（上限和下限的平均值），再确定数字在左半部分还是右半部分。
- 在继续在数字所在的那部分中查找。
在这个递归案例中，关键在于元素是经过排序的。找出中间的元素后，只需将其与要查找的 数字进行比较即可。 如果要查找的数字更大，肯定在右边；如果更小，它必然在左边。递归部分为“继续在数字所在的那部分中查找”， 因为查找方式与定义所指定的完全相同。（请注意，这种查找算法返回数字应该在的位置。 如果这个数字不在序列中，那么这个位置上的自然是另一个数字。）
现在可以实现二分查找了。
def search(sequence, number, lower, upper):
if lower == upper:
assert number == sequence[upper]
return upper
else:
middle = (lower + upper) // 2
if number > sequence[middle]:
return search(sequence, number, middle + 1, upper)
else:
return search(sequence, number, lower, middle)
这些代码所做的与定义完全一致：如果 lower == upper ，就返回 upper ，即上限。
请注意，假设（断言）找到的确实是要找的数字（ number == sequence[upper] ）。
如果还未达到基线条件， 就找出中间位置，确定数字在它左边还是右边，
再使用新的上限和下限递归地调用 search 。为方便调用，还可将上限和下限设置为可选的。
为此，只需给参数 lower 和 upper 指定默认值，并在函数开头添加如下条件语句：
def search(sequence, number, lower=0, upper=None):
if upper is None:
upper = len(sequence) - 1
现在，如果没有提供上限和下限，它们将分别设置为序列的第一个位置和最后一个位置。 下面来看看这是否可行。
seq = [34, 67, 8, 123, 4, 100, 95]
seq.sort()
seq
[4, 8, 34, 67, 95, 100, 123]
def search(sequence, number, lower=0, upper=None):
if upper is None:
upper = len(sequence) - 1
search(seq, 34)
2
search(seq, 100)
5
然而，为何要如此麻烦呢？首先，可使用列表方法index来查找。 其次，即便要自己实现这种功能，也可创建一个循环，让它从序列开头开始迭代，直至找到指定的数字。
确实，使用index挺好，但使用简单循环可能效率低下。 前面说过，要在100个数字中找到指 定的数字，只需问7次；但使用循环时，在最糟的情况下需要问100次。 可能觉得“没什么大不 了的”。但如果列表包含100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个元素（对Python列表来 说， 这样的长度可能不现实），使用循环也将需要问这么多次，情况开始变得“很大”了。 然而， 如果使用二分查找，只需问117次。
Python提供了一些有助于进行这种函数式编程的函数： map 、filter 和 reduce 。
在较新的 Python版本中，函数 map 和 filter 的用途并不大，应该使用列表推导来替代它们。
可使用 map 将序列的所有元素传递给函数。
list(map(str, range(10)))
['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9']
上面的语句与下面的列表推导式等价：
[str(i) for i in range(10)]
['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9']
可使用 filter 根据布尔函数的返回值来对元素进行过滤。
def func(x):
return x.isalnum()
seq = ["foo", "x41", "?!", "***"]
list(filter(func, seq))
['foo', 'x41']
就这个示例而言，如果转而使用列表推导，就无需创建前述自定义函数。
[x for x in seq if x.isalnum()]
['foo', 'x41']
实际上，Python提供了一种名为lambda表达式的功能，
能够创建内嵌的简单函数（主要供 map 、 filter 和 reduce 使用）。
filter(lambda x: x.isalnum(), seq)
<filter at 0x7f45c003ead0>
然而，使用列表推导的可读性不是更高吗？
下面再来说第3个函数 reduce 。
要使用列表推导来替换函数 reduce 并不那么容易，而这个函数提供的功能即便能用到，也用得不多。
它使用指定的函数将序列的前两个元素合二为一，再将结果与第3个元素合二为 一，依此类推，直到处理完整个序列并得到一个结果。
例如，如果要将序列中的所有数相加，可结合使用 reduce 和 lambda x, y: x+y 。
numbers = [72, 101, 108, 108, 111, 44, 32, 119, 111, 114, 108, 100, 33]
from functools import reduce
reduce(lambda x, y: x + y, numbers)
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本章介绍了抽象的基本知识以及函数。
- 抽象：抽象是隐藏不必要细节的艺术。通过定义处理细节的函数，可让程序更抽象。
- 函数定义：函数是使用
def语句定义的。函数由语句块组成，它们从外部接受值（参数）， 并可能返回一个或多个值（计算结果）。 - 参数：函数通过参数（调用函数时被设置的变量）接收所需的信息。在Python中，参数有 两类：位置参数和关键字参数。通过给参数指定默认值，可使其变成可选的。
- 作用域：变量存储在作用域（也叫命名空间）中。在Python中，作用域分两大类：全局作用域和局部作用域。作用域可以嵌套。
- 递归：函数可调用自身，这称为递归。可使用递归完成的任何任务都可使用循环来完成， 但有时使用递归函数的可读性更高。
- 函数式编程：Python提供了一些函数式编程工具，其中包括lambda表达式以及函数
map、filter和reduce。