在SciPy中，optimize 库中的 fsolve() 函数可以用来对非线性方程组进行求解。
它的基本调用形式如下:
fsolve(func, x0)f1(u1,u2,u3) = 0f2(u1,u2,u3) = 0f3(u1,u2,u3) = 0
那么 func 可以如下定义:
def func(x):
u1,u2,u3 = x
return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]
下面是一个例子，求解如下方程组的解:
5*x1 + 3 = 04*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0x1*x2 - 1.5 = 0
代码如下:
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
def f(x):
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
return [
5*x1+3,
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
x1*x2 - 1.5
]
result = fsolve(f, [1,1,1])
print(result)
[-0.70622057 -0.6 -2.5 ]
print(f(result))
[0.0, -9.126033262418787e-14, 5.329070518200751e-15]
由于 fsolve 函数在调用函数f时，传递的参数为数组，因此如果直接使用数组中的元素计算的话，
计算速度将会有所降低，因此这里先用 float 函数将数组中的元素转换为Python中的标准浮点数，
然后调用标准 math 库中的函数进行运算。
在对方程组进行求解时，fsolve 会自动计算方程组的雅可比矩阵，如果方程组中的未知数很多，
而与每个方程有关的未知数较少时，即雅可比矩阵比较稀疏时，传递一个计算雅可比矩阵的函数将能大幅度提高运算速度。
在一个模拟计算的程序中需要大量求解近有50个未知数的非线性方程组的解。
每个方程平均与6个未知数相关，通过传递雅可比矩阵的计算函数使计算速度提高了4倍。
雅可比矩阵
雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列的矩阵，它给出了可微分方程与给定点的最优线性逼近， 因此类似于多元函数的导数。例如前面的函数f1,f2,f3和未知数u1,u2,u3的雅可比矩阵如下:
∂f 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂f 3 ∂f 3 ∂f 3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
使用雅可比矩阵的 fsolve 实例如下，计算雅可比矩阵的函数j通过 fprime 参数传递给 fsolve ，
函数 j 和函数 f 一样，有一个未知数的解矢量参数 x ，函数j计算非线性方程组在矢量 x 点上的雅可比矩阵。
由于这个例子中未知数很少，因此程序计算雅可比矩阵并不能带来计算速度的提升。
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
def f(x):
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
return [
5*x1+3,
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
x1*x2 - 1.5
]
def j(x):
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
return [
[0, 5, 0],
[8*x0, -2*x2*cos(x1*x2), -2*x1*cos(x1*x2)],
[0, x2, x1]
]
result = fsolve(f, [1,1,1], fprime=j)
print(result)
[-0.70622057 -0.6 -2.5 ]
print(f(result))
[0.0, -9.126033262418787e-14, 5.329070518200751e-15]